▷ نظام ثنائي وعشري وثماني وست عشري ما هو وكيف يعمل

إذا كنت طالبًا في علوم الكمبيوتر أو الإلكترونيات أو أي فرع من فروع الهندسة ، فإن أحد الأشياء التي يجب أن تعرفها هو إجراء تحويلات لنظام الترقيم. في الحوسبة ، تختلف أنظمة الترقيم المستخدمة عما نعرفه تقليديًا ، مثل نظامنا العشري. لهذا السبب ، على الأرجح ، إذا كرسنا أنفسنا لمجال الحوسبة والبرمجة والتكنولوجيا المماثلة ، فسوف نحتاج إلى معرفة الأنظمة الأكثر استخدامًا وكيفية معرفة كيفية التحويل من نظام إلى آخر.

فهرس المحتويات

كيفية إجراء تحويلات نظام الترقيم

من المفيد بشكل خاص معرفة نظام التحويل العشري إلى الثنائي والعكس صحيح ، حيث إنه نظام الترقيم الذي تعمل به مكونات الكمبيوتر مباشرة. ولكن من المفيد جدًا معرفة النظام السداسي العشري ، حيث يتم استخدامه على سبيل المثال لتمثيل رموز الألوان والمفاتيح وعدد كبير من الرموز من فريقنا.

أنظمة الترقيم

يتكون نظام الترقيم من تمثيل مجموعة من الرموز والقواعد التي تسمح لنا ببناء الأرقام الصحيحة. بمعنى آخر ، يتألف من استخدام سلسلة من الرموز المقيدة التي يمكن من خلالها تكوين قيم رقمية أخرى دون أي حد.

بدون تجاوز حدود المصطلحات الرياضية للتعريفات ، ستكون الأنظمة الأكثر استخدامًا من قبل البشر والآلات هي التالية:

النظام العشري

إنه نظام ترقيم موضعي يتم فيه تمثيل الكميات بالقاعدة الحسابية للرقم عشرة.

بما أن القاعدة هي رقم عشرة ، سيكون لدينا القدرة على بناء جميع الأرقام باستخدام عشرة أرقام هي تلك التي نعرفها جميعًا. 0 و 1،2 3 و 4 و 5 و 6 و 7 و 8 و 9. سيتم استخدام هذه الأرقام لتمثيل موقف قوى 10 في تشكيل أي رقم.

لذا ، يمكننا تمثيل رقم بالطريقة التالية في نظام الترقيم هذا:

نرى أن الرقم العشري هو مجموع كل قيمة بالأساس 10 مرفوعًا إلى الموضع 1 الذي يشغله كل مصطلح. سنضع هذا في الاعتبار للتحويلات في أنظمة الترقيم الأخرى.

نظام ثنائي

النظام الثنائي هو نظام ترقيم تستخدم فيه القاعدة الحسابية 2. هذا النظام هو الذي تستخدمه أجهزة الكمبيوتر والأنظمة الرقمية داخليًا لتنفيذ جميع العمليات على الإطلاق.

يتم تمثيل نظام الترقيم هذا فقط برقمين ، 0 و 1 ، وهذا هو السبب في أنه يعتمد على رقمين (رقمين) ، حيث سيتم بناء جميع سلاسل القيمة.

نظام ثماني

كما هو الحال مع التفسيرات السابقة ، يمكننا بالفعل تخيل ما هو هذا عن النظام الثماني. نظام Octal هو نظام الترقيم الذي يتم فيه استخدام الأساس الحسابي 8 ، أي سيكون لدينا 8 أرقام مختلفة لتمثيل جميع الأرقام. ستكون هذه: 0 و 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 و 7.

نظام سداسي عشري

باتباع التعاريف السابقة ، فإن نظام الترقيم العشري هو نظام ترقيم موضعي يعتمد على الرقم 16. في هذه المرحلة سوف نسأل أنفسنا ، كيف سنحصل على 16 رقمًا مختلفًا ، إذا كان على سبيل المثال 10 عبارة عن مزيج من رقمين مختلفة؟

حسنًا ، بسيط جدًا ، اخترعناهم ، وليس نحن ، ولكن أولئك الذين اخترعوا النظام المعني. الأرقام التي سنحصل عليها هنا هي: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، أ ، ب ، ج ، د ، هـ ، و. هذا يجعل إجمالي 16 مصطلح مختلف. إذا سبق لك تعيين رمز رقمي للون ، فهذا النوع من الترقيم ، ولهذا السبب سترى كيف يتم تمثيل اللون الأبيض ، على سبيل المثال ، كقيمة FFFFFF. سنرى فيما بعد ماذا يعني هذا.

التحويل بين النظام الثنائي والعشري

نظرًا لأنها أبسط وأسهل الفهم ، سنبدأ بالتحويل بين نظامي الترقيم هذين.

تحويل الرقم من ثنائي إلى عشري

كما رأينا في القسم الأول ، فإننا نمثل الرقم العشري كمجموع القيم مضروبًا بقوة 10 إلى الموضع 1 الذي تحتله. إذا قمنا بتطبيق هذا على أي رقم ثنائي ، مع القاعدة المقابلة ، فسيكون لدينا ما يلي:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5	1 · 2 4	1 · 2 3	1 · 2 2	1 · 2 1	1 · 2 0

ولكن بالطبع ، إذا قمنا بالإجراء كما في النظام العشري ، فسوف نحصل على قيم أخرى غير 0 و 1 ، وهي القيم التي لا يمكننا تمثيلها إلا في نظام الترقيم هذا.

ولكن هذا على وجه التحديد سيكون مفيدًا جدًا لإجراء التحويل إلى النظام العشري. دعنا نحسب نتيجة كل قيمة في صندوقها:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5 = 32	1 · 2 4 = 0	1 · 2 3 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	1 · 2 0 = 0

حسنًا ، إذا قمنا بعمل مجموع هذه القيم الناتجة عن كل خلية ، فسوف نحصل على القيمة المكافئة العشرية للقيمة الثنائية.

القيمة العشرية 100110 هي 38

كان علينا فقط مضاعفة الرقم (0 أو 1) في قاعدته (2) مرفوعة إلى الموضع 1 الذي يشغله في الشكل. نضيف القيم وسيكون لدينا الرقم العشري.

إذا لم تكن مقتنعًا ، فسننفذ الآن العملية المعاكسة:

تحويل الرقم العشري إلى ثنائي

إذا كان قبل أن نقوم بضرب الأرقام ومجموع لتحديد القيمة العشرية ، فما علينا فعله الآن هو قسمة الرقم العشري على أساس النظام الذي نريد تحويله إليه ، في هذه الحالة 2.

سننفذ هذا الإجراء حتى لم يعد من الممكن إجراء أي تقسيم إضافي. دعونا نرى مثالاً لكيفية القيام بذلك.

رقم	38	19	9	4	2	1
الانقسام	÷ 2 = 19	÷ 2 = 9	÷ 2 = 4	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
الباقي	0	1	1	0	0	1

هذا هو نتيجة جعل الانقسامات المتتالية إلى الحد الأدنى. ربما كنت قد أدركت بالفعل كيف يعمل هذا. إذا أخذنا الآن ما تبقى من كل قسم وعكسنا موقعه ، فسوف نحصل على القيمة الثنائية للرقم العشري. أي أنه بدأ من حيث أنهينا التقسيم إلى الوراء:

لذلك لدينا النتيجة التالية: 100110

كما نرى ، تمكنا من الحصول على نفس العدد تمامًا كما هو الحال في بداية القسم.

تحويل العدد العشري الكسري إلى ثنائي

كما نعلم جيدًا ، لا توجد أرقام عشرية كاملة فقط ، ولكن يمكننا أيضًا العثور على أرقام حقيقية (كسور). وكنظام ترقيم ، يجب أن يكون من الممكن تحويل رقم من النظام العشري إلى النظام الثنائي. نحن نرى كيف نفعل ذلك. لنأخذ الرقم 38375 كمثال

ما يجب علينا القيام به هو فصل كل جزء من الأجزاء. نحن نعرف بالفعل كيفية حساب الجزء الصحيح ، لذلك سننتقل مباشرة إلى الجزء العشري.

سيكون الإجراء على النحو التالي: يجب أن نأخذ الجزء العشري ونضربه في قاعدة النظام ، أي 2. نتيجة الضرب يجب أن نضربه مرة أخرى حتى نحصل على جزء كسري من 0. إذا كان الضرب يظهر عند إجراء الضرب مع جزء صحيح ، فسيتعين علينا فقط أخذ الكسر من أجل الضرب التالي. دعونا نلقي نظرة على المثال لفهمه بشكل أفضل.

رقم	0.375	0.75	0.50
الضرب	* 2 = 0.75	* 2 = 1.50	* 2 = 1.00
الجزء كله	0	1	1

كما نرى ، نأخذ الجزء العشري ونضربه مرة أخرى حتى نصل إلى 1.00 حيث ستكون النتيجة دائمًا 0.

نتيجة 38375 في ثنائي سيكون 100 110،011

ولكن ماذا يحدث عندما لا نستطيع الوصول إلى نتيجة 1.00 في هذه العملية؟ دعونا نرى المثال مع 38،45

رقم	0.45	0.90	0.80	0.60	0.20	0.40	0.80
الضرب	* 2 = 0.90	* 2 = 1.80	* 2 = 1.60	* 2 = 1.20	* 2 = 0.40	* 2 = 0.80	* 2 = 1.60
الجزء كله	0	1	1	1	0	0	1

كما نرى ، من 0.80 تصبح العملية دورية ، أي أننا لن ننهي الإجراء أبدًا لأن الأرقام من 0.8 إلى 0.4 ستظهر دائمًا. ثم ستكون نتيجتنا تقريبًا للرقم العشري ، وكلما تقدمنا ​​، زادت الدقة التي سنحصل عليها.

لذا: 38.45 = 100 110،01110011001 1001…

دعونا نرى كيفية القيام بالعملية العكسية

تحويل الرقم الثنائي الكسري إلى عشري

سيتم تنفيذ هذه العملية بنفس الطريقة التي يتم بها تغيير القاعدة العادية ، باستثناء أن الفواصل ستكون القوى سلبية. لنأخذ فقط الجزء الصحيح من الرقم الثنائي السابق:

0	1	1	1	0	0	1	...
0 · 2 -1 = 0	1 · 2 -2 = 0.25	1 · 2 -3 = 0.125	1 · 2 -4 = 0.0625	1 · 2 -5 = 0	1 · 2 -6 = 0	1 · 2 -7 = 0.0078125	…

إذا أضفنا النتائج سنحصل على:

0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.0078125 = 0.4453

إذا واصلنا تنفيذ العمليات ، فسنقترب أكثر فأكثر من القيمة الدقيقة 38.45

التحويل بين النظام الثماني والنظام الثنائي

سننتقل الآن لمعرفة كيفية إجراء التحويل بين نظامين ليسا عشريًا ، لذلك سنأخذ النظام الثماني والنظام الثنائي وسنقوم بنفس الإجراء كما في الأقسام السابقة.

تحويل الرقم من ثنائي إلى ثماني

التحويل بين نظامي الترقيم بسيط للغاية لأن قاعدة النظام الثماني هي نفسها الموجودة في النظام الثنائي ولكنها ترتفع إلى قوة 3 ، 2 ³ = 8. بناءً على ذلك ، ما سنفعله هو تجميع المصطلحات الثنائية في مجموعات من ثلاثة تبدأ من اليمين إلى اليسار وتحويلها مباشرة إلى رقم عشري. دعنا نرى المثال برقم 100110:

1	0	0	1	1	0
100	110
0 · 2 2 = 4	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	0 · 2 0 = 0
4	6

نقوم بتجميع كل ثلاثة أرقام ونقوم بالتحويل إلى عشري. ستكون النتيجة النهائية 100110 = 46

ولكن ماذا لو لم يكن لدينا مجموعات مثالية من 3؟ على سبيل المثال 1001101 ، لدينا مجموعتان من 3 وواحدة من 1 ، دعنا نرى كيفية المتابعة:

0	0	1	0	0	1	1	0	1
001	100	110
0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1
1	1	5

بعد الإجراء ، نأخذ المجموعات من يمين المصطلح ، وعندما نصل إلى النهاية ، نملأ أكبر عدد ممكن من الأصفار حسب الضرورة. في هذه الحالة ، نحتاج إلى اثنين لإكمال المجموعة الأخيرة. لذا 1001101 = 115

تحويل الرقم الثماني إلى ثنائي

حسنًا ، الإجراء بسيط مثل القيام بالعكس ، أي الانتقال من ثنائي إلى عشري في مجموعات من 3. لنرى ذلك مع الرقم 115

القيمة	1	1	5
الانقسام	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
الباقي	1	0	0	1	0	0	1	0	1
مجموعة	001	001	101

بهذه الطريقة نرى أن 115 = 001001101 أو ما هو نفسه 115 = 1001101

التحويل بين النظام الثماني والنظام العشري

سنرى الآن كيفية تنفيذ إجراء الانتقال من نظام الأعداد الثمانية إلى العلامة العشرية والعكس صحيح. سنرى أن الإجراء هو نفسه تمامًا كما هو الحال في النظام العشري والثنائي ، فقط يجب علينا تغيير القاعدة إلى 8 بدلاً من 2.

سنقوم بتنفيذ الإجراءات مباشرة بشروط مع جزء كسري.

تحويل الرقم العشري إلى ثماني

باتباع إجراء الطريقة الثنائية العشرية ، سننفذها بمثال 238.32:

الجزء كله. نقسم على القاعدة ، وهي 8:

رقم	238	29	3
الانقسام	÷ 8 = 29	÷ 8 = 3	-
الباقي	6	5	3

الجزء العشري ، نضرب في القاعدة ، وهو 8:

رقم	0.32	0.56	0.48	0.84	0.72	…
الضرب	* 8 = 2.56	* 8 = 4.48	* 8 = 3.84	* 8 = 6.72	* 8 = 5.76	…
الجزء كله	2	4	3	6	5	…

النتيجة التي تم الحصول عليها هي كما يلي: 238.32 = 356.24365…

تحويل العدد الثماني إلى عشري

حسنًا ، فلنقم بالعملية المعاكسة. دعنا ننتقل الرقم الثماني 356،243 إلى عشري:

3	5	6	،	2	4	3
3 · 8 2 = 192	5 · 8 1 = 40	6 · 2 0 = 6		2 · 8 -1 = 0.25	4 · 8 -2 = 0.0625	3 · 8 -3 = 0.005893

والنتيجة هي: 192 + 40 + 6 ، 0.25 + 0.0625 + 0.005893 = 238.318

التحويل بين النظام الست عشري والنظام العشري

ثم ننتهي من عملية التحويل بين نظام الترقيم الست عشري والنظام العشري.

تحويل الرقم العشري إلى الست عشري

باتباع طريقة الطريقة العشرية الثنائية والعشرية الثمانية ، سننفذها بمثال 238.32:

الجزء كله. نقسم على القاعدة ، وهي 16:

رقم	238	14
الانقسام	÷ 16 = 14	-
الباقي	هـ	هـ

الجزء العشري ، نضرب في القاعدة ، وهو 16:

رقم	0.32	0.12	0.92	0.72	0.52	…
الضرب	* 16 = 5.12	* 16 = 1.92	* 16 = 14.72	* 16 = 11.52	* 16 = 8.32	…
الجزء كله	5	1	هـ	ب	8	…

النتيجة التي تم الحصول عليها هي كما يلي: 238.32 = EE، 51EB8…

تحويل الرقم من سداسي عشري إلى عشري

حسنًا ، فلنقم بالعملية المعاكسة. دعنا نمرر الرقم السداسي عشري EE ، 51E إلى عشري:

هـ	هـ	،	5	1	هـ
E16 1 = 224	هـ · 16 0 = 14		5 · 16 -1 = 0.3125	1 · 16 -2 = 0.003906	E16 -3 = 0.00341

والنتيجة هي: 224 + 14 ، 0.3125 + 0.003906 + 0.00341 = 238.3198…

حسنًا ، هذه هي الطرق الرئيسية لتغيير القاعدة من نظام ترقيم إلى آخر. ينطبق النظام على أي نظام في أي قاعدة وعشرية ، على الرغم من أنها الأكثر استخدامًا في مجال الحوسبة.

قد تكون مهتمًا أيضًا بما يلي:

إذا كان لديك أي أسئلة ، فاتركها في التعليقات. سنحاول مساعدتك.